Фоуриер трансформ. Брзо Фоуриер трансформ. Дискретна Фоуриер-ова трансформација

Фуријеова трансформација - трансформација, удруживање одређену функција реалне променљиве. Ова операција се обавља сваки пут опажамо различите звукове. Еар производи аутоматски "обрачун", који испуњавају наше може свести тек након испитивања делу више математике. слуха орган у људском трансформацији конструката, где звук (конвенционална вибрациони кретање честица у еластичном медијуму, који се распростиру у облику вала у чврстом, течном или гасовитом медијуму) је дат у опсегу узастопних вредности нивоа запремине тона различитим висинама. Након тога, мозак претвара информације у свим познатим звуком.

Математичка Фоуриер трансформ

Конверзија звучних таласа или других вибрација процеси (светлосном емисијом и океана плиме и звезданих или соларни циклус) могу обављати и путем математичких метода. Дакле, коришћење ове технике, функције може проширити увођењем вибрационе процеса сетом синусоидалних компоненти, тј таласастих кривама које иду од најмање до максимума, а затим поново на минимум, као талас мора. Фуријеова трансформација - функција трансформација која описује фазу или амплитуду сваког синусоиде одговара одређеној фреквенцији. Фаза је полазна тачка криве, и амплитуда - своје висине.

Фоуриер-ова трансформација (примери су приказани на слици) је врло моћан алат који се користи у разним областима науке. У неким случајевима, користи се као раствор прилично комплексне једначине које описују динамичне процесе који се јављају под утицајем светлости, топлоте или електричне енергије. У другим случајевима, то вам омогућава да дефинишете редовне компоненте у сложеним таласних облика, због тога може бити истина да интерпретира различите експерименталне запажања у хемији, медицини и астрономије.

istorijski подаци

Прва особа која примени овај метод је био француски математичар Жан Батист Фуре. Конверзија, потом назван по њему, је првобитно коришћен да опише механизам провођења топлоте. Фоуриер цео свој одрасли живот бави проучавањем својства топлоте. Он је огроман допринос математичке теорије утврђивање корена алгебарских једначина. Фурије је био професор анализе на Ецоле Политецхникуе, секретар Института за египтологије, био је царска служба, што је изазвало пометњу у време изградње на путу ка Торину (под његовим вођством је исушено више од 80 хиљада квадратних километара маларијским мочвара). Међутим, све ово активизам није зауставило научника која се бави математичке анализе. 1802. је изведена једначину која описује простирање топлоте у чврстих материја. 1807. године, научник открио је начин за решавање ове једначине, који је постао познат као "Фоуриер трансформ".

топлотна проводљивост аналисис

Истраживачи су користили математички начин да се опише механизам провођења топлоте. Погодан пример, где су тешкоћа у обрачун служи пропагирање топлотне енергије жељезном прстен, један део уроњен у ватри. Да би се експерименти Фоуриер усијани део прстена и закопам га у ситног песка. Након тога, температура мерења спроведена на супротној његовог дела. У почетку, дистрибуција топлоте неуредан: део прстена - хладно, а други - хот, између зона може посматрати нагли температурни градијент. Међутим, током дистрибуције топлотне енергије преко металној површини, постаје униформа. Дакле, ускоро, тај процес траје форму синусни талас. Фирст грапх постепено повећава и такође смањује глатко Прецизно законе варијацији косинус или синусне функције. Ваве постепено изједначили и као резултат температура постане униформу на целој површини прстена.

Аутор овог метода претпоставља да је почетна расподела је веома нерегуларно може се раставити у великом броју основних синусних таласа. Сваки од њих ће имати фазу (почетни положај) и његову максималну температуру. Тако сваки такав саставни мења од минимума до максимума и назад да заврше револуцију око прстена целобројних времена. Компонента има период који се звао фундаментални хармоник, а вредност са два или више периода - други и тако даље. На пример, математичка функција која описује максималну температуру, фаза или положај назива Фоуриерова трансформација функције дистрибуције. Научник донео једну компоненту која је тешко математичком опису, за једноставне за употребу алата - реда синус и косинус, у износу од давања почетне дистрибуције.

Суштина анализе

Примењујући ову анализу на конверзију дистрибуције топлоте на равну површину, који има прстенасто облик, а математичар закључило да повећање периоди синусоидалних компоненти довести до његове брзог пригушење. То се јасно види на главним и другог хармоника. Крајња температура достигне двоструко више максималне и минималне вриједности у једном пролазу, ау прва - само једном. Испоставило се да је удаљеност од топлоте у другом хармоника је упола мањи него у језгру. Поред тога, градијент другој половини ће бити стрмији од прве. Стога, будући да интензивније термални флукс пролази удовица минимално растојање, онда ће бити пригушене хармоника четири пута брже него главни, у функцији времена. У следећем процесу ће бити још бржи. Математичар верује да овај метод нам омогућава да израчунамо процеса почетне расподеле температуре са временом.

Цалл савременици

Фоуриер трансформ алгоритам је постао изазов са теоријским основама математике у то време. У раном деветнаестом веку, већина истакнутих научника, укључујући Лагранге, Лаплаце, Поиссон, Легендре и Биот није прихватила његову тврдњу да се температура почетне расподеле декомпонована у компоненте у форми фундаменталне таласа и вишој фреквенцији. Међутим, Академија наука не може да игнорише резултате добијене математичар, и наградио га је награду за теорију провођења топлоте закона, као и вођење своје поређење са физичким експериментима. У приступу Фоуриер, главни приговор је чињеница да се прекидна функција представљена збир неколико синусоидалних функције, које су континуирано. Уосталом, они описују пуцања равно и закривљене линије. Савремени научник никада није наишао на такву ситуацију, када су неповезаних функције које су описане комбинацијом континуирано, као што су квадратна, линеарне, синус или излагача. У случају да математичар била у праву у својим тврдњама, износ од бескрајног низа тригонометријских функција треба да буде ограничен на тачну брзину. Док таква тврдња изгледало апсурдно. Међутим, упркос сумњама неких истраживача (нпр Клод Навиер Софи Зхермен) проширила обим истраживања и довео их из анализе дистрибуцију топлотне енергије. Математике, у међувремену, наставља да трпи питање да ли је збир неколико синусоидалних функција своди на тачним заступљености пуцања.

Историја 200 година

Ова теорија је еволуирала током два века, данас је коначно формирана. Уз помоћ просторних и временских функција су проваљена синусоидалних компоненте које имају фреквенције, фазе и амплитуде. Ова конверзија се постиже два различита математичких метода. Први од њих се не користи у случају када је извор непрекидна функција, а други - у случају када је представљени са више дискретних индивидуалних промена. Ако је израз добија из вредности, које су дефинисане у одвојеним интервалима, може се поделити у неколико дискретних синусоидална фреквенција израза - од најниже и затим удвостручи, утростручила, итд изнад основна. Овај износ се назива Фоуриер серије. Ако је првобитна израз поставља вредност сваког правог броја, може се поделити на више синусоидалних свим могућим фреквенцијама. То се зове Фоуриер интегрални, а одлука подразумева трансформацију интегралног функције. Без обзира на поступак за добијање трансформацију, за сваку фреквенцију треба навести два броја: амплитуду и фреквенцију. Ове вредности су изражене као један комплексни број. Екпрессион комплексне варијабле теорије заједно са Фоуриер трансформацијом за обављање израчунавања дозволио дизајн различитих електричних кругова, анализа механичких вибрација, проучавање таласа механизма и другог.

Фоуриер трансформ данас

Данас, студија овог процеса у основи своди на проналажење ефикасних метода за прелазак са функције да га претворити натраг на памет. Ово решење се зове директна и обрнута Фоуриер трансформ. Шта то значи? У циљу утврђивања саставни и направи директна Фоуриер трансформ, можете користити математичке методе, али можете аналитички. Упркос чињеници да када се користе у пракси постоје неке потешкоће, већ је пронађен већина интеграли и ушли у математичке приручницима. Уз помоћ нумеричких метода може се израчунати израза, чији облик се базира на експерименталним подацима, у функцији чији интеграли у табелама су нестале, а они су тешко замислити у аналитичком облику.

Пре појаве прорачуна Цомпутер Енгинееринг такве трансформације су врло заморан, они захтевају употребу извршење великог броја аритметичких операција која зависи од броја бодова које описују таласну функцију. Да би се олакшало насеље данас, постоје посебни програми, дозвољено да имплементира нове аналитичке методе. Дакле, у 1965., Дзхеимс Кули и Џон Тиуки створио софтвер који је постао познат као "Фаст Фоуриер Трансформ". То штеди време обрачуна смањењем броја мултиплицирања у анализи криве. "Фаст Фоуриер Трансформ" Метода се заснива на подели криву у великом броју јединствених вредности узорка. Сходно томе, број мултиплицирања се смањује за пола истовремено смањење броја бодова.

Применом Фоуриер трансформ

Овај процес се користи у разним областима: у теорије бројева, физике, обраду сигнала, комбинаторике, теорије вероватноће, криптографије, статистике, океанографију, оптике, акустике и других геометрија. Богате могућности за њено коришћење се заснива на великом броју корисних функција, које се називају "својства Фоуриер трансформацију." Хајде да их испитамо.

1. Функција конверзије је оператор линеаран и одговарајући нормализацију је унитарна. Ово својство је познат као ПАРСЕВАЛ теорема, или у општем случају, теорема Плансхереља или Понтрјагин дуализам.

2. Конверзија је реверзибилна. Штавише, супротно резултат је значајно сличан облик као у директно адресирање.

3. синусоидална Основни изрази су њихови диференциране функције. То значи да таква заступљеност мења линеарних једначина са константним коефицијентима у конвенционалном Алгебраическаа.

4. Према "конволуционој" теореме, процес чини сложену операцију у основној умножавање.

5. Дискретна Фоуриер Трансформ може брзо испланирати на рачунар помоћу "фаст" метод.

Варијације Фоуриер трансформ

1. Најчешће термин се користи да означи континуиране трансформације пружања било какве куадратицалли интегрируемие израз као збир комплексних експоненцијалне експресије са специфичним угаоних фреквенција и амплитуда. Ова врста има неколико различитих облика који могу бити различити константни коефицијенти. Метод континуираног обухвата табелу за конверзију, која се може наћи у математичким приручницима. Генерализовани случај је фракциона конверзија, чиме се овај процес се подигне до жељене стварну моћ.

2. метод континуираног је генерализација раније технике Фуријеов ред дефинисане за било периодичних функција или израза који постоје у ограниченом простору и представљају их као низ синусоида.

3. Дискретна Фоуриер трансформ. Ова метода се користи за израчунавање за научно обрачун и дигиталне обраде сигнала. Да би овај тип израчунавања мора имати функцију одређивања он дискретни скуп појединачних тачака, периодичног или ограничено региону уместо непрекидних Фоуриер интеграла. Конверзија сигнала у овом случају представљен као збир синусоида. Употреба "брзе" метода омогућава коришћење дигиталних решења за све практичне сврхе.

4. Прозор Фоуриер трансформ је уопштен поглед на класичном методом. За разлику од стандардних раствора када се користи спектар сигнал, који се предузимају у пуном опсегу постојања ове варијабле је од посебног интереса овдје само дистрибуција локална фреквенција задржавајући оригинални варијаблу (време).

5. Дводимензионална Фоуриер трансформ. Ова метода се користи за рад са дводимензионалне низова података. У таквом случају, конверзија се обавља у једном смеру, а потом - у другом.

закључак

Данас, метод Фоуриер-чврсто укорењена у разним областима науке. На пример, у 1962. отворила облик ДНК двоструког хеликса коришћењем Фоуриер анализе у вези са рендгенске дифракције. Рецент кристали фокусиран на ДНК влакана, резултира сликом која се добија дифракцијом, снимљено на филму. Ова слика је информацију о вредности амплитуде помоћу Фоуриер трансформ у овом кристалне структуре. Пхасе подаци добијени поређењем ДНК дифракције картице са картице који се добијају у анализи сличних хемијских структура. Као резултат тога, биолози обновљена кристалну структуру - на првобитну функцију.

Фоуриер трансформ играју велику улогу у истраживању свемира, физике полупроводничких материјала и плазме, микроталасне акустике, оцеанографији, радар, сеизмологију и лекарске прегледе.