Крамерово правило и његова примена

Крамерово правило - једна је од егзактне методе за решавање система линеарних алгебарских једначина (Слау). Његова тачност због употребе детерминанти матрице система, као и неке од ограничења наметнутих у доказу теореме.

Систем линеарних алгебарских једначина са коефицијентима припада, на пример, мноштво Р - прави број непознатих к1, к2, ..., кн збирка израза

АИ2 к1 + АИ2 к2 + ... аин кн = БИ са и = 1, 2, ..., м, (1)

где иј, Би - реални бројеви. Сваки од ових израза се зове линеарна једначина, иј - коефицијенти непознаница, Би - независни коефицијенти једначина.

раствор (1) из н-димензионални вектор к ° = (к1 °, к2 °, ..., кн °), на којем супституција у систем на непознатих к1, к2, ..., кн, свака од линија у систему постаје најбољи једначину .

Систем се зове досљедан, уколико има најмање једно решење, и недоследан, ако се поклапа са раствором скуп празног скупа.

Мора се запамтити да како би пронашли решења за систем линејних уравнениј методом Црамер, матрични системи морају бити квадрат, што у основи значи исти број непознатих и једначина у систему.

Дакле, да користе Црамер методу, морате барем знати шта је Матрик систем линеарних алгебарских једначина, и издаје. И друго, да разумеју оно што се назива детерминанту матрице и сопствених способности рачунања.

Претпоставимо да је то знање које поседује. Дивно! Онда морате да памтите само формула одређују Крамер метод. Да би се поједноставио памћење користити следећу нотацију:

• Дет - главна детерминанта матрице система;

• дети - је детерминанта матрице добија из примарног матрице система заменом и-тх колони матрице на вектор колоне чије су праве стране линеарних алгебарских једначина елементс;

• н - број непознатих и једначина у систему.

Затим крамерово правило рачунања и-тх компоненте ки (и = 1, .. н) н-димензионални вектор к може написати као

ки = дети / Дет (2).

У овом случају, Налази строго разликује од нуле.

Јединственост решења система када је заједнички обезбеђује неједнакости стању главна детерминанта система на нулу. У супротном, ако је збир (КСИ), квадрат, строго позитиван, онда Слае квадрат матрица је неизводљиво. То се може десити нарочито када бар један од дети нуле.

Пример 1. Да бисте решили тродимензионалну Лау систем користећи Црамер формулу.
2 к1 + к2 + к3 = 31 4,
5 к1 + к2 + к3 = 2 29,
3 к1 - к2 + к3 = 10.

Одлука. Ми запишите матрицу система линију по линију, где је Аи - представља и-ти ред матрице.
А1 = (1 2 4), А2 = (5 1 2), А3 = (3, -1, 1).
Цолумн фрее коефицијенти б = (31 Оцтобер 29).

Главни систем је одредница Дет
Дет = а11 а22 а33 + а12 а23 а31 + а31 а21 а32 - А13 А22 А31 - А11 А32 А23 - А33 а21 а12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Да бисте израчунали пермутација дет1 помоћу а11 = б1, А21 = б2, а31 = б3. онда
дет1 = Б1 А22 А33 + А12 А23 б3 + А31 Б2 А32 - А13 А22 Б3 - Б1 А32 А23 - А33 Б2 А12 = ... = -81.

Слично томе, да израчуна дет2 замену употребе а12 = б1, А22 = б2, А32 = б3, и, сходно томе, израчунати дет3 - А13 = б1, А23 = б2, А33 = б3.
Онда можете да проверите да дет2 = -108, и дет3 = - 135.
Према формулама Црамер налазе к1 = -81 / (- 27) = 3, к2 = -108 / (- 27) = 4, к3 = -135 / (- 27) = 5.

Одговор: х ° = (3,4,5).

Ослањајући се на применљивости овог правила, метода Крамер решавање система линеарних једначина може посредно користе, на пример, да се испита систем на могући број решења у зависности од вредности параметра к.

Пример 2. Одредити које вредности параметра к неједнакости | кк - и - 4 | + | к + ки + 4 | <= 0 има тачно једно решење.

Одлука.
Ова неједнакост, према дефиницији функције модула може се вршити само ако су оба израза нула истовремено. Због тога, овај проблем се своди на проналажење решења линеарних алгебарских једначина

кк - и = 4,
к + ки = -4.

Решење овог система само ако је главна детерминанта од
Дет = к ^ {2} + 1 је различит од нуле. Јасно је да је овај услов задовољен за све реалне вредности параметра к.

Одговор: за све реалне вредности параметра к.

Циљеви овог типа могу такође да се смањи многе практичне проблеме у области математике, физике или хемије.