Једначина равни: како направити? Типови плане једначине

Авион Простор се може дефинисати на различите начине (једна тачка и векторских, вектор и два поена, три поена, итд). То је са овим на уму, једначина авион може имати различите врсте. Такође под одређеним условима раван могу бити паралелне, управна, секу, етц. На ово и да ће говорити у овом чланку. Ми ћемо научити да општи једначину равни и не само.

Нормалан облик једначине

Претпоставимо Р је простор _{3, које} има правоугли координатни систем КСИЗ. Ми дефинишемо вектор α, који ће бити пуштени из почетне тачке О. Кроз краја векторских ниво а извући авион П која је нормална на њу.

Обознаким П при произвољним точка К = (к, и, з). Радијус вектор поинт К знака слово п. Дужина вектора једнака ниво а п = ИαИ анд ʋ = (цосα, цосβ, цосγ).

Ова јединица вектор, који је усмерен у правцу као вектор ниво а. α, β и γ - су углови који се формирају између вектора и позитивне правцима ʋ простор осе к, и, з респективно. Пројекција тачке на вектора КεП ʋ је константа која је једнака п (п, ʋ) = п (р≥0).

Ова једнацина има смисла када је п = 0. Једини н авион у овом случају би прешла Поинт О (α = 0), што је порекло и јединични вектор ʋ, ослобођен из тачке О биће управна на П, мада његов смер, што значи да вектор ʋ утврђено до знака. Претходна једначина је наш авион П, изражен у векторском облику. Али, с обзиром на своје координатама:

П је већи од или једнак 0. Нашли смо једначине равни у нормалном облику.

Општа једначина

Ако једначина у координатама помножи било којим бројем који није једнак нули, добијамо једначину једнака овој која дефинише саму авион. То ће имати следећи облик:

Овде, А, Б, Ц - је број истовремено различит од нуле. Ова једначина се назива једначина општег облика авиона.

Једначине авиона. posebni случајеви

Једначина се генерално може модификован са додатних услова. Размотрити неке од њих.

Претпоставимо да је коефицијент А је 0. То значи да је авион паралелно са унапред одређеног оси Ок. У овом случају, облик једначине мења: Ву + Цз + Д = 0.

Слично, облик једначине и варираће са следећим условима:

• Прво, ако Б = 0, једначина промене Ак + Цз + Д = 0, која би указивала на паралелизам на осе Ои.
• Друго, ако је Ц = 0, једначина се трансформише у ак + би + д = 0, то јест о паралелно са задатом правцу Оз.
• Треће, ако д = 0, једначина ће се појавити као Ак + Би + Цз = 0, што би значило да је авион пресеца О (Тхе Оригин).
• Четврто, ако је А = Б = 0, једначина промене Цз + Д = 0, што ће доказати да паралелизма Оки.
• Пето, ако Б = Ц = 0, једначина постаје Ак + Д = 0, што значи да је авион је паралелан са Оиз.
• Шесто, ако је А = Ц = 0, једначина има облик Ву + Д = 0, тј ће извјештавати паралелизма Окз.

Облик једначине у сегментима

У случају где бројеви А, Б, Ц, Д различита од нуле, облик једначине (0) могу бити следећи:

к / а + и / б + з / ц = 1,

где је а = -Д / А, б = -Д / Б, ц = -Д / Ц.

Ми примамо као резултат једначине равни у комадима. Треба напоменути да ће овај авион секу к-осу у тачки са координатама (а, 0,0), Ои - (0, б, 0), и Оз - (0,0, С).

С обзиром на једначина к / а + и / б + з / ц = 1, није тешко да се визуализује пласман равни у односу на унапред одређеним координатном систему.

Координате вектора нормале

Нормалан вектор н авионској П има координате које су коефицијенти опште једначине авиона, тј, Н (А, Б, Ц).

Како би се утврдило координате нормалног н, довољно је знати општу једначину дату раван.

Приликом коришћења једначине у одељку који има облик к / а + и / б + з / ц = 1, као и општим једначине можемо написати координате било ког нормалног вектора датог равни: (1 / а + 1 / б + 1 / ц).

Треба напоменути да је нормално вектор помогне у решавању различитих проблема. Најчешћи проблеми су који се састоји у доказ управне или паралелне равни, задатак проналажења углове између равни или углова између авиона и правих.

Типе према једначини равни и координата тацке нормалног вектора

Нуле вектор н, нормално на дату раван под називом нормал (нормално) до жељене равни.

Претпоставимо да у координатном простору (правоугаона координатни систем) Окиз сет:

• Мₒ тачка са координатама (хₒ, уₒ, зₒ);
• зеро вецтор н = А * и + Б * ј + Ц * К.

Потребно је да се једначину равни која пролази кроз Мₒ тачку нормална на нормалан н.

У простору се изабрати било произвољно тачку и означавају М (к, и, з). Нека Радијус вектор сваку тачку М (к, и, з) бице р = к * и + и * ј + з * к, а полупречник вектор тачка Мₒ (хₒ, уₒ, зₒ) - рₒ = хₒ * и + уₒ * ј + зₒ * к. Поента М ће припадати датом равни, ако вектор МₒМ буде нормална на вектор н. Пишемо стање ортогоналности користећи скаларни производ:

[МₒМ, н] = 0.

Пошто МₒМ = Р-рₒ, вектор једначина равни ће изгледати овако:

[Р - рₒ, н] = 0.

Ова једначина може имати другачији облик. За ту сврху, својства скаларног производа и конвертује леву страну једначине. [Р - рₒ, н] = [р, н] - [рₒ, н]. Ако [рₒ, н] означено као с, добијамо следећу једначину: [р, н] - а = 0 или [Р, н] = с, које изражава константност пројекција на вектора нормале на радијус-вектора датих тачака које припадају авион.

Сада можете добити координата тип снимања самолета наш векторска једначина [р - рₒ, н] = 0. Пошто р-рₒ = (к-хₒ) * и + (и-уₒ) * ј + (з-зₒ) * к, анд н = А * и + б * ј + Ц * К, имамо:

Испоставило се да имамо једначина се формира раван која пролази кроз тачку нормална на нормалан н:

А * (к хₒ) + Б * (и уₒ) С * (з-зₒ) = 0.

Типе према једначини равни и координате две тачке вектора равни цоллинеар

Ми дефинишемо два произвољних временских тренутака М '(к', и ', з') и М "(Кс" И "З"), као и вектор (а ', а ", што представља ‴).

Сада можемо написати једначину предодређен раван која пролази кроз постојећу тачку М 'и М', а свака тачка са координатама М (к, и, з) паралелно са датом вектору.

Тако М'М вектори к = {к ', и-и'; зз '} и М "М = {к" -к', и 'и'; з "З"} треба да буде цопланар са вектором а = (а ', а ", а ‴), што значи да (М'М М" М, а) = 0.

Дакле, наша једначина равни у простору ће изгледати овако:

Врста равни једначине, прелазећи три бода

Рецимо да имамо три бода: (к ', и', з ') (к' и 'з'), (х ‴ Хаве ‴ з ‴), који не припадају истој линији. Неопходно је да се напише једначину равни која пролази кроз три тачке наведених. Теорија геометрија тврди да ова врста авиона не постоји, то је само један и једини. Пошто овај авион пресеца тачку (Кс ', и', з '), његова једначина облик би био:

Овде, А, Б, и Ц се разликују од нуле истовремено. Такође дао авион пресеца још два поена (к ", и", з ") и (к ‴, и ‴, з ‴). У вези са овим треба да се обавља овакве услове:

Сада можемо створити јединствен систем једначина (Линеар) са непознатих У, В, В:

У нашем случају Кс, И или З представља произвољну тачку која задовољава једначину (1). С обзиром једначину (1) и систем једначина (2) и (3) Систем једначина наведена у слици горе, вектор задовољава Н (А, Б, Ц) која се нетривијални. То је зато што је детерминанта система је нула.

Једначина (1) да имамо, то је једначина авиона. 3 тачка стварно иде, а то је лако проверити. Да би то урадили, морамо проширити одредницу од елемената у првом реду. Постојећег својства одредила следи да је наш авион истовремено пресеца три првобитно дефинисане тачке (к ', и', з '), (к ", и", з "), (к ‴, и ‴, з ‴). Зато смо одлучили да задатак пред нама.

Дихедрал угао између равни

Дихедрал угао је просторни геометријски облик формиран од два пола авиона који проистичу из праволинијски. Другим речима, део простора који је ограничен на полу-равни.

Претпоставимо да имамо два авиона са следећим једначинама:

Знамо да вектор Н = (А, Б, Ц) и Н¹ = (а¹, Х¹, С¹) према претходно утврђеним авионе нормалне. У том смислу, угао φ између вектора Н и Н¹ равноплечие (дихедралним), који се налази између ових авиона. Скаларна производ је дат:

НН¹ = | н || Н¹ | цос φ,

управо зато што

цосφ = НН¹ / | Н || Н¹ | = (АА¹ + ВВ¹ СС¹ +) / ((√ (А² + с² + в²)) * (√ (а¹) ˛: + (Х¹) ˛: + (С¹) ˛)).

Довољно је узети у обзир да 0≤φ≤π.

Заправо два авиона које се секу, форма два угла (дихедрални): φ ₁ и φ _2. Њихов збир једнак Ш (φ ₁ + φ ₂ = Ш). Што се тиче њихове цосинес, њихове апсолутне вредности су једнаке, али су различити знакови, односно, цос φ ₁ = -Ћос φ _2. Ако у једначини (0) се замена А, Б и Ц -А, -Б и -Ц респективно, једначини, добијамо, одредиће истој равни, једини угао φ у једначини цос φ = НН ¹ / | Н || Н ^1. | То ће бити замењена пи-φ.

Једначина нормале авиона

Цаллед перпендицулар равни, између којих је угао 90 степени. Користећи материјал представљен изнад, можемо наћи једначину равни управној на другу. Претпоставимо да имамо два авиона: Аке + би + цз + Д = 0, и + А¹х В¹у С¹з + Год = 0. Можемо рећи да су ортогонални ако цос = 0. То значи да НН¹ = АА¹ + ВВ¹ СС¹ + = 0.

Једначина паралелној равни

Он је поменуо две паралелне равни које садрже никакве бодове у заједничко.

Услов паралелних равни (њихови једначине су исти као у претходном пасусу) је да су вектори Н и Н¹, који су управно на њих, колинеарне. То значи да су испуњени следећи услови пропорционалност:

А / а¹ = Б / Ц = Х¹ / С¹.

Уколико су пропорционални изрази проширени - А / а¹ = Б / Ц = Х¹ / С¹ = ДД¹,

ово показује да равни података истог. То значи да ак + би + Цз + Д = 0 и + А¹х В¹у С¹з + + й = 0 опише један авион.

Удаљеност од тачке до равни

Претпоставимо да имамо авион П, који је дат од стране (0). Неопходно је наћи удаљеност од тачке са координатама (хₒ, уₒ, зₒ) = Кₒ. , Треба да се донесе једначину у равни ИИ нормалног изгледа да га направи:

(Ρ, в) = п (р≥0).

У овом случају, ρ (к, и, з) је пречник вектор наше тачке К, који се налази на н п - н је дужина нормале, који је пуштен из нулте тачке, против - је јединични вектор, која је постављена у правцу а.

Разлика ρ-ρº радијус вектор тачка К = (к, и, з), припада н и полупречник вектор датом К ₀ = (хₒ, уₒ, зₒ) је такав вектор, апсолутна вредност пројекције која на в једнака удаљеност д, што је потребно наћи од К = ₀ (хₒ, уₒ, зₒ) то П:

Год = | (ρ-ρ ^{0 в)} |, али

(Ρ-ρ ^0, в) = (ρ, в ) - (ρ ^0, в) = п (ρ ^0, в).

Тако испада,

Д = | (ρ ^0, В) с |.

Сада је јасно да се израчуна удаљеност д од ₀ до К равни П, потребно је користити нормалан поглед авион једначине, прелазак са леве стране п, а последње место на Кс, И, З замена (хₒ, уₒ, зₒ).

Стога, сматрамо апсолутну вриједност добијеног израза који је потребан д.

Користећи параметре језика, добијамо оно што је очигледно:

Д = | Ахₒ Вуₒ + Цзₒ | / √ (А² + в² + с²).

Ако је наведена тачка К ₀ је на другој страни равни П као порекла, онда између вектора ρ-ρ ⁰ а в је туп угао, овако:

д = - (ρ-ρ ^0, в) = (ρ ^0, в) -п> 0.

У случају када је тачка К ₀ заједно са пореклом налази на истој страни У, акутни угао створена, то јест:

д = (ρ-ρ ^0, в) = п - (ρ ^0, в)> 0.

Резултат је да у првом случају (ρ ^0, в)> п, у другом (ρ ^0, в) <п.

И његова тангента авион једначина

Што се тиче авион на површину на тачки додирне мº - авион садржи сву могућу тангенту на криву извученог преко тог тренутка површини.

Са овим површинском облику једначине Ф (к, и, з) = 0 у једначином тангенте равни тангенте точка мº (хº, уº, зº) би био:

Ф _к (хº, уº, зº) (хº к) + Ф _к (хº, уº, зº) (уº и) + Ф _к (хº, уº, зº) (з-зº) = 0.

Уколико површина подешен изричито з = ф (к, и), онда се тангенте равни описан једначином:

з-зº = ф (хº, уº) (хº к) + ф (хº, уº) (и уº).

Пресек два авиона

У тродимензионалном простору је координатни систем (правоугаона) Окиз, с обзиром два авиона П "и П" који се преклапају и не поклапају. Јер свако равни, која је у правоугли координатни систем дефинисан општим једначине, претпостављамо да н и н "су дефинисане једначинама А'к + В'у С'з + + Д '= 0 и А" + Б к' + и sa "z + Д" = 0. У овом случају имамо нормалан н '(а', б ', Ц') од равни П "и нормалног н" (А ", Б", Ц ") од равни П". Као наш авион нису паралелне, а не поклапају, онда ови вектори нису цоллинеар. Језиком математике, имамо ово стање може се написати као: н '= н "↔ (а', б ', ц') = (λ * и", λ * У ", λ * Ц"), λεР. Нека права линија која се налази на раскрсници П 'и П ", биће обележен словом а, у овом случају а = П' ∩ П".

и - линију која се састоји од мноштва тачака (заједнички) авиона П 'и П ". То значи да су координате једном тренутку припадају линије а, мора истовремено задовољити једначину А'к + В'у С'з + + Д '= 0 и "к + Б' + Ц и" з + Д "= 0. То значи да ће координате тачке бити посебан решење следећим једначинама:

Резултат је да ће решење (укупан) овог система једначина одређују координате сваког од тачака на линији која ће деловати као тачка раскрснице П 'и П ", и одредити линију у координатном систему Окиз (правоугаона) простора.