Збир углова троугла. Теорема о збир углова у троуглу

Троугао је полигон са три стране (три угла). Најчешће, део означава малим словима одговарајућим велика слова, који представљају супротне темена. У овом чланку ћемо да погледамо ове врсте геометријских облика, теореме, која дефинише шта је једнак збир углова у троуглу.

Типови највећих углови

Следеће врсте полигона са три темена:

• оштроугли, у којој су сви углови су оштри;
• правоугаони имати један прави угао, са стране је формирање, из ногу, а страна која је супротна одлаже се под правим углом се зове хипотенузу;
• туп када угао није тупи ;
• једнакокраки, чији две стране једнаке, а зову се бочно, а трећи - троугао базом;
• једнакостранични има три једнаке стране.

својства

Издвојити основне особине које су карактеристичне за сваког типа троугла:

• напротив највећи страни увек већи угао, и обрнуто;
• су равноправни углови супротни једнаком-највеће странке, и обрнуто;
• у сваком троуглу има два акутних угла;
• оутер угао већи од било ког унутрашњег угла није суседан истих;
• збир двеју углова је увек мање од 180 степени;
• спољашњи угао једнак збиру друга два угла, који нису мезхуиут са њим.

Теорема о збир углова у троуглу

Теорема наводи да ако саберете све углове геометријског облика, који се налази у еуклидској равни, онда њихов збир ће бити 180 степени. Хајде да покушамо да докажемо ову теорему.

Нека имамо произвољан троугао са теменима КМН. Преко ће врх М одржи директну паралелу на линији куна (назива се и ова линија Еуцлид). Треба напоменути тачке А, тако да су тачке К и А су распоређени у различите стране линије МН. Добијамо исти угао АМС и МУФ, која, као и ентеријера, лаже унакрст да формирају укрштају МН у вези са директним ЦН и МА, који су паралелне. Из овога следи да је збир углова троугла, који се налази на теменима М и Н једнака величини угла ЦМА. Сва три угла се састоји од износа који је једнак збиру углова КАМП и МЦС. Пошто су подаци унутрашњих углова релативне једнострани паралелне линије ЦЛ и ЦМ мр у пресецају, њихов збир је 180 степени. Ово доказује теорему.

резултат

Од горе наведеног теореме подразумева следеће последицу: сваки троугао има две акутне угла. Да би то доказао, претпоставимо да је ова геометријска фигура има само један оштар угао. Такође, може се претпоставити да нико од углова нису оштре. У том случају мора да најмање два угла, од којих је магнитуда је једнака или већа од 90 степени. Али онда је збир углова је већи од 180 степени. Али то не може бити, јер према Теорема збира углова троугла је једнака 180 ° - не више, ни мање. То је оно што мора да буде доказана.

Проперти спољни угао

Шта је збир углова троугла, који су спољни? Одговор на ово питање може се добити применом једног од два начина. Први је да треба да пронађете збир углова, које се узимају један на сваког врха, то јест три угла. Друга подразумева да морате да пронађете збир шест углова у теменима. Да се бави почетком прве изведбе. Стога, троугао садржи шест спољним угловима - на врху сваке од два. Сваки пар има једнаке углове између себе, с обзиром да су вертикално:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Осим тога, познато је да је спољашњи угао троугла једнак је збиру два унутрашњости, који нису мезхуиутсиа са њим. Због тога,

∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.

Из овога произилази да ће сума од спољашњих углова, које се узимају један по један поред сваког врха бити једнака:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + + ∟С ∟А ∟В + + + ∟В ∟С = 2 к (∟А + ∟В ∟С +).

С обзиром на чињеницу да је збир углова једнак 180 степени, може се тврдити да ∟А + ∟В ∟С = + 180 °. То значи да ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 к 180 ° = 360 °. Ако се користи друга опција, збир од шест углова ће бити пропорционално већи два пута. Односно збир углова троугла напољу ће бити:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 к (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

право троугао

Оно што је једнак збиру углова једног правоуглог троугла је острво? Одговор је, опет, од теорема, у којем се наводи да су углови троугла додати до 180 степени. Звук наша тврдња (власништво) и то: у правоуглог троугла оштре углове додати до 90 степени. Ми доказати своју вјеродостојност. Нека буде дат троугао КМН, ∟Н које = 90 °. Неопходно је да се докаже да су ∟К ∟М = + 90 °.

Тако, према теорему о збиру углова ∟К + ∟М ∟Н + = 180 °. У овом стању се каже да ∟Н = 90 °. Испоставило се ∟К ∟М + 90 ° = 180 °. То је ∟К ∟М + = 180 ° - 90 ° = 90 °. То је оно што морамо да докажемо.

Поред наведених особина правоуглог троугла, можете додати ове:

• углови који леже у односу на ноге схарп;
• хипотенуза на троугла веће од било ког ногу;
• збир ногу више од хипотенузе;
• лег троугла, који лежи насупрот углом од 30 степени, пола хипотенузом, која је једнака његовој пола.

Као други имовине геометријског облика могу се разликовати Питагорине теореме. Она тврди да је у троуглу са углом од 90 степени (правоугаона), збир квадрата ногу једнак квадрат хипотенузе.

Збир углова једнакокраког троугла

Раније смо рекли да једнакокраки троугао је полигон са три теменима, који садржи две једнаке стране. Ова некретнина је познато геометријски лик: углови у основи једнаки. Хајде да то доказују.

Узми троугао КМН, који је једнакокрак, СЦ - своју базу. Ми треба да докаже да је ∟К = ∟Н. Дакле, претпоставимо да је МА - КМН је симетрала нашег троугла. МАС троугао са првим знаком једнакости је троугао МНУ. Наиме, хипотетички будући да ЦМ = НМ, МА је уобичајена екипа, ∟1 = ∟2 јер МА - ово симетрала. Користећи једнакост два троугла, могло би се рећи да је ∟К = ∟Н. Дакле, теорема доказана.

Али ми смо заинтересовани, што је збир углова троугла (једнакокраком). Јер у том смислу нема његове карактеристике, ми ћемо почети са теореме говорили раније. То је, можемо рећи да ∟К + ∟М ∟Н + = 180 °, или 2 к ∟К ∟М + = 180 ° (као ∟К = ∟Н). Ово неће доказати имовину, као што је теорема о збир углова троугла је раније доказано.

Осим сматра својствима угловима троугла, такође постоје такве важне изјаве:

• ин једнакостраничног висине троугла, који је спуштен у базу, истовремено медијана симетрала угла који је између једнаких страна и осе симетрије на његовој основи;
• медијана (средишњица, висина), које се одржавају на странама геометријског фигуре су једнаки.

једнакостранични троугао

Такође се зове, зар троугао, који су једнаки за све стране. А самим тим и једнаке и углови. Сваки од њих је 60 степени. Хајде да докажемо ову особину.

Хајде да претпоставимо да имамо троугао КМН. Знамо да је КМ = ХМ = КХ. То значи да, према имовину угловима налазе у бази у једнакостранични троугао ∟К = ∟М = ∟Н. Пошто према збир углова у троуглу теореми ∟К + ∟М ∟Н + = 180 °, тада к 3 = 180 ° ∟К ор ∟К = 60 °, ∟М = 60 °, ∟Н = 60 °. Стога, тврдња доказана. Као што се види из горенаведених доказа на основу горе теореме, збир углова једнакостраничног троугла, како збир углова било ког другог троугла је 180 степени. Поново доказује ову теорему није потребно.

Још увек постоје неке особине које су карактеристичне за једнакостраничног троугла:

• медиан Висина средишњица у геометријском слици идентични и њихова дужина се израчунава као (А к √3): 2;
• ако полигон која окружује круг, онда радијус бити једнак (А к √3): 3;
• ако уписан у круг једнакостранични троугао, његов радијус би била (а к √3): 6;
• површина геометријске фигуре израчунава према формули: (а2 к √3): 4.

туп троугао

По дефиницији, туп правоуглом троуглу, један од његових углова између 90 до 180 степени. Али, с обзиром на чињеницу да су друга два угла од геометријског облика оштрог, може се закључити да они не прелазе 90 степени. Дакле, збир углова троугла теореме ради у израчунавању збир углова у троуглу тупим. Дакле, са сигурношћу можемо рећи, на основу горе теореме да је збир туп углова троугла је 180 степени. Опет, то теорема не мора да поново доказ.