Шта је аритметика? Теорема аритметике. бинарни аритметика

Шта је аритметика? Када је почео човечанство да користе бројеве и радити са њима? Где су њени корени свакодневних појмова као што су бројеви, фракције, одузимање, сабирања и множења, та особа је направио саставни део живота и изгледу? Грчки умови дивио такве науке као математике, аритметике и геометрије, као прелепом симфонија људске логике.

Можда математика није тако дубоко као другим наукама, али шта ће се десити са њима, људи заборављају елементарне таблицу множења? Познато нам логично размишљање, користећи бројеве, фракције, и друге алатке да би људима тешко, и дуго времена није био доступан нашим прецима. У ствари, пре развоја аритметике ни једна област људског знања није био истински научна.

Аритметика - Математика је писмо

Аритметика - наука о бројевима, са којим сваки појединац почиње познанство са фасцинантни свет математике. По речима М. В. Ломоносова, аритметика - ово је капија учења, отварајући пут за нас да Миропознание. Али он је у праву, је знање о свету може одвојити од знања слова и бројева, математике и говора? Можда у старим данима, али не у модерном свету, где је брз развој науке и технологије чини своје законе.

Реч "аритметика" (Гм. "Арифмос") од грчког порекла, значи "број". Она испитује број и све што се може повезати са њима. Ово је свет бројева: разним операцијама на бројевима, нумеричке правила, послове који су у вези са множења, одузимање, и тако даље ..

Д. опште је прихваћено да је почетни корак је аритметичка Матхематицс анд чврста основа за сложеније својим погонима, попут алгебре, математичке анализе, више математике и т.

Главни циљ аритметике

Основа аритметици - је цео број, особине и законе који се сматрају највишим аритметичка или нумбер тхеори. У ствари, како се прави приступ узет у обзир такве мале јединице, као природни број у зависности од јачине зграде - математике.

Стога, питање које је аритметика, одговор је једноставан: то је наука о бројевима. Да, о уобичајеном седам, девет, а све ове разнолике заједнице. И баш као и највише Осредњи стихови не може писати без основног писма, без аритметика не може решити ни основне задатке. Зато су сви науке су напредовале тек након развоју аритметике и математике, што пре свега скуп претпоставки.

Аритметика - научно дух

Шта је аритметика - природне науке или фантом? У ствари, као што су стари грчки филозофи образложена, нема бројева, нема података у стварности не постоји. То је само фантом, која је настала у људске мисли када гледате на животну средину и њене процесе. У ствари, оно што је број? Ни близу не видимо ништа слично би се могло назвати број, односно број - то је начин да се истражи свет људског ума. Можда ова студија имамо у себи? Филозофи тврде о томе вековима заредом, тако да дају исцрпан одговор не предузме. У сваком случају, аритметичка може тако чврсто заузети своју позицију у модерном свету нико не може сматрати друштвено прилагодити без знања својих темеља.

Пошто није било позитиван цео број

Наравно, главни циљ који послује аритметика, - природни број, као што су 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... итд Аритметика природних бројева је резултат рачун обичних предмета, као што су краве на ливади. Ипак, дефиниција "много" или "мало" када је нешто престала да држи људе, и морали да измисле софистицираније технике бројања.

Али прави пробој када је људски ум достигао тачку која може бити један и исти број "два" за проглашење и 2 кг, и 2 цигле и 2 дела. Чињеница да је неопходно да се извод из форме, карактеристике и значење објеката, онда можемо произвести неку акцију са овим објектима у облику бројева. Тако је рођен аритметику бројева, који се даље развијати и проширити у заузима положај у друштву.

Што је дубински је концепт броја, као нула и негативних бројева, фракција, подаци односе се на бројеве на друге начине, имају богату и занимљиву историју развоја.

Аритметичке и практичне Египћани

Два древни људски пратилац у истраживању света и решавање свакодневних проблема - то аритметика и геометрија.

Верује се да је историја аритметике има своје порекло у древној истоку: Индији, Египту, Вавилону и Кине. Дакле, Рхинд папирус Египћана (тако названа јер је исто име припада власнику), која датира из КСКС века. БЦ, поред осталих вриједних података укључује проширење само делић у износу од фракција са различитим имениоци и нумератору једнака јединици.

На пример: = 1/60 + 2/73 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Али шта је смисао такве сложене распадања? Чињеница да је египатска приступ не толерише захваћене размишља о бројевима, напротив, прорачуни су направљене само за практичне сврхе. То јест, Египћани ће бити ангажовани у том послу као израчунавања, искључиво у циљу изградње гроб, на пример. Било је потребно израчунати дужину фин структуре, и то је за особу да седи папирус. Као што се може видети, египатски напредак у прорачунима се зове, а масивна, гради, а не љубав према науци.

Из тог разлога, прорачуни који се налазе на папируса, не може се назвати размишљања на тему фракција. Највероватније, то је практично припрема, који је помогао да се даље решава проблеме са фракцијама. Древни Египћани нису знали таблицу множења, произвела прилично дуге калкулације, раширили на многе подзадатке. Можда је то један од оних подзадатке. Лако је приметити да су прорачуни са овим празнине је пуно времена и не обећава много. Можда због тога не видимо велики допринос развоју древних египатских математике.

Античка Грчка и филозофски аритметика

Многи од знања Старог истока су успешно савладали су стари Грци, познати љубитељима апстрактне, апстрактне и филозофске рефлексије. Вежбајте их занима ништа мање него најбољи теоретичари и мислиоци су тешко наћи. То је добро за науку, јер математика није могуће ићи дубоко, не кидање са реалношћу. Наравно, могуће је да помножите са 10 крава и 100 литара млека, али не може да се креће далеко.

Грци размишљања дубоко оставили значајан траг у историји, а њихови радови су дошли до нас:

• Еуклид и "Елементи".
• Питагора.
• Архимед.
• Ератостен.
• Зенон.
• Анаксагора.

И, наравно, претвара све филозофију Грка, а посебно следбеници Питагора случајева били толико страствени о бројевима, који им је мистерија Ворлд Хармони сматрају. Бројеви су тако проучавали и истраживали, да су неки од њих и њихових парове приписује посебне особине. На пример:

• Савршен Број - оне које су збир свих својих делилаца осим самог броја (6 = 1 + 2 + 3).
• Пријатељска бројеве - ови бројеви, од којих је збир свих делилаца другог и обрнуто (Питагорина знам само једну такву пар: 220 и 284).

Грци, који су веровали да наука треба да буде вољен, а не да се са њом ради добитка, направили велике кораке, истражујући, играње и додавањем бројева. Треба напоменути да нису сви њиховог истраживања су у широкој употреби, неки од њих су били само "за лепоту."

Еастерн мислиоци у средњем веку

Слично томе, у средњем веку аритметика дугује свој развој у источним савременика. Индијанци су нам дали бројке које активно користе таква ствар као "нула", као и положај варијације система обрачуна, уобичајени модерну перцепцију. Од Ал-каша, која је у 15. веку радила у Самарканд, ми смо наследили су децималне, без којих је тешко замислити савремени аритметика.

На много начина, Европа упознат са достигнућа Истока је омогућено захваљујући раду италијанске научника Леонардо Фибонацци, који је написао књигу "Либер Абаци", упознавања са оријенталним иновацијама. Она је постала камен темељац развоја алгебре и аритметике, истраживачким и научним активностима у Европи.

Руски аритметика

Коначно, аритметика, је нашао своје место и укорењен у Европи, почео је да се шири на руској земљи. Руски први аритметика објављен у 1703 - био је то књига о аритметичке Леонтииа Магнитского. Дуго времена је био једини уџбеник из математике. Она садржи почетне тренутке алгебре и геометрије. Бројке, који су коришћени у примерима прве руске уџбеника аритметике, арапском. Иако Арапским бројевима се раније срели, на гравира датирају из 17. века.

Сама књига је украшен са сликама Архимед и Питагора, а на првој страници - слике аритметичке као жена. Она седи на престолу, испод је написано у јеврејском речи за име Бога, и о корацима који воде ка олтару, уписане са речју "поделе", "повећања", "додатак", и тако даље. Д Може се само замислити шта је то што је издао такве истине, које се сада сматрају уобичајена.

Уџбеник 600 страница описује као основу као додатак и таблицу множења и апликације за навигационе наука.

Није изненађујуће, аутор је изабрао слику грчке мислилаца за своје књиге, јер је и сам био опчињен лепотом аритметике, говорећи: "аритметика је цхислителнитса тамо лијепа, независтное ...". Овај приступ аритметике је утемељен, јер је његова распрострањено усвајање може сматрати почетак убрзаног развоја научне мисли у Русији и општег образовања.

Унеаси прости

Прост број - то је природан број, који је само 2 позитивни делиоци: 1 и себе. Сви остали бројеви, осим 1 се зове композит. Примери простих бројева: 2, 3, 5, 7, 11, и сви други који нису остали од 1 делиоци и сам број.

Што се тиче броја 1, то је на премије - постоји сагласност да се треба узети у обзир ни једноставан, ни једињење. Једноставан на први поглед, једноставна број скрива многе нерешених мистерија у себи.

Еуклидов теорема каже да је бесконачан број простих бројева, и Ератостен дошао са посебним аритметичке "сито", који елиминише компликоване бројеве, остављајући само једноставна.

Његова суштина је да се нагласи први Поврат број, а након тога и брисање оних који су дељиви са њим. Ми смо неколико пута поновите ову процедуру - и добити табелу простих бројева.

Теорема аритметике

Међу запажања о простих бројева треба да се посебно споменути основне рачунске теорему.

Основни аритметика теорема тврди да је било који цео број већи од 1, или једноставно или се може раставити на производ простих бројева до налогу понављања фактора, једини начин.

Теорема аритметике показала прилично гломазан, а разумевање није желео само основе.

На први поглед, простих бројева - основне концепције, али није. Физика и некада сматрало основно атома, док је нашла унутар универзума. Примес посвећен лепу причу математичар Дон Загиер "Први педесет милиона простих бројева."

Од "три јабуке" до дедуктивним закона

То заиста може назвати ојачана темељ свих наука - законима аритметике. Чак и као дете све аритметика лице, проучавајући број ногама и рукама на луткама, број коцки, јабука и тако даље. Д Тако да студирају аритметика, која се затим напредује у сложеније правила.

Цео наш живот нас упознаје са правилима аритметике, који су били за обичног човека најкориснији све те науке даје. Студија бројева - то је "аритметика-беба", које уводи човека у свет бројева као цифара у раном детињству.

Виши аритметика - дедуктивна наука која проучава законе аритметике. Већина њих знамо, иако можда не знамо њихов тачан формулацију.

Закон сабирања и множења

Било која два интегерс А и Б се може изразити као збир а + б, што је такође природан број. Што се тиче тога, следећих закона:

• Комутативна, који каже да је пермутација термина ставља износ се не мења, или А + Б = Б + А.
• Асоцијативна то рекао сума не зависи начину груписања услове у местима или + (Б + Ц) = (А + Б) + Ц.

Правила аритметике, као што су сабирање, - један од основних, али они користе све науке, а да не помињем свакодневни живот.

Свака два цела броја а и б могу изразити у производу или б * а * б, што је такође природан број. Да нанесете производ исте комутативне и асоцијативна законе у вези са додатком:

• а * б = б * а;
• а * (б * ц) = (а * б) * ц.

Занимљиво је да постоји закон, који комбинује сабирање и множење, такође познат као дистрибуцију или дистрибутивни закон:

а (б + ц) = аб + ац

Овај закон нас учи да ради са заградама, да их отвара, тако да смо већ може радити са више сложеним формулама. То су закони који ће нас водити кроз чудан, али комплексном свету алгебре.

Закон аритметика редослед

о законима људске логике да користи сваки дан, провера свој сат и бројање рачуне. И, ипак, и она треба да буде у одређеном језику.

Ако имамо два позитивна цела броја А и Б, затим следеће опције:

• а је једнак б или а = б;
• мање од б или а <б;
• а је већи од б, или> б.

Од три опције само може бити само један. Основни закон, који регулише поступак, рекао је: ако је а <б и б <ц, онда <в.

Постоје закони који везују акције реда сабирања и множења: ако је а <б, онда + ц <б + ц и ац <бц.

Закони аритметике нас је научио да ради са бројевима, знацима и заграда, претварајући све у складну симфонију бројева.

Позициони и нонпоситионал систем нумерисања

Можемо рећи да су бројеви - ово је језик математике, уз све погодности од којих зависи од многих ствари. Постоје многи системи обрачуна, који, као што су писма различитих језика разликују.

Размотримо систем бројева са становишта утицаја положаја на квантитативне вредности цифре на овој позицији. На пример, Роман систем је нонпоситионал где сваки број кодиран одређеног скупа специјалних карактера: И / В / Кс / Л / Ц / Д / М. су, респективно, бројеви 1/5/10/50/100/500 / 1000. У овом систему, та бројка не мења свој квантитативно одређивање, у зависности од тога у ком положају би требало .. Први, други, итд Да би остале бројеве, неопходно је да постави базу. На пример:

• ДЦЦ = 700.
• Ццм = 800.

Више нам познате цифра систем користи арапским бројевима је позициони. У таквом систему број пражњења дефинише број цифара, на пример, троцифрене бројеве: 333, 567, итд Маса било испуштања зависи од положаја на коме фигура је један или други, нпр фигура 8 у другу позицију има вредност 80. Она је типичан за децималном систему постоје друге позиционе систем као што је бинарни.

бинарни аритметика

Ми смо упознати децимални систем, који се састоји од једног бита и мулти-битне бројеве. На слици са леве стране у цифре броја је десет пута већа у значаја за једног на десној страни. Дакле, ми смо прочитали 2, 17, 467, и тако даље Д То је другачија логика и приступ део, који се зове. "Бинарни аритметика." То није изненађујуће, јер бинарни аритметика није створен за људску логику, а за рачунар. Ако аритметика бројева потиче од бројања, што додатно апстраховане из предметне имовине "голи" аритметичке, онда то неће радити са рачунаром. Да би могли да деле своје знање са рачунаром, човек је морао да измисли модела обрачуна.

Бинарни аритметика ради са бинарном писмом, који се састоји само од 0 и 1. и употреба овог алфабета се назива бинарни систем.

За разлику од бинарног аритметичке децимале да је значај позиције са леве стране више не 10, и 2 пута. Бинарни бројеви су облика 111, 1001 и тако даље. Д. Како да схватимо ове бројеве? Стога, сматрамо број 1100:

1. Прва цифра на левој страни - 1 * 8 = 8, имајући у виду да је четврти цифра, што значи да мора да се множи са 2, добијамо 8 позицију.
2. Друга цифра 1 * 4 = 4 (Позиција 4).
3. Трећа цифра 0 * 2 = 0 (поситион 2).
4. Четврта цифра 0 * 1 = 0 (поситион 1).
5. Дакле, наш број 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

То је, прелазак на нову категорију са леве стране њеног значаја у бинарном систему се множи са 2 и децимале - до 10. Овакав систем има једну ману: сувише је велики бита раста који су потребни за снимање бројева. Примери децимални бројеви двоцхиних што се може видети у следећој табели.

Децимални бројеви су представљени у бинарном облику у наставку.

Такође октална користе и хексадецимални систем нумерисања.

Овај мистериозни аритметика

Шта је аритметика, "два плус два" или неистражене тајне бројева? Као што можете видети, аритметика, може, и то изгледа на први поглед једноставна, али није јасно варљива лакоћа. Могуће је да учи децу, и заједно са тетком сова из цртаног филма "Аритхметиц-бебе", и могу ронити у дубоком научног истраживања скоро филозофски реда. У историји је прошла од бројања предмета да обожавају лепоту бројева. Једна ствар је сигурна: са успостављањем основних постулата аритметике, све наука могу да се ослоне на њеном јаком рамену.